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飛彈比例導引律的祖師爺-袁家騮

自1963年以來,至2018年仍在悍衛台海空防的美製鷹式(HAWK)防空飛彈。

飛彈比例導引律的祖師爺-袁家騮

作者:趙嘉琦

國際公認古典導引理論之啟蒙者、比例導引律發明第一人、開創戰術飛彈睥睨戰場的新時代……尊稱袁家騮為比例導引律之祖師爺真真是當之無愧!行家眼中,內功心法比什麼寶劍都更珍貴,而這導引律就是飛彈之心法,且其中最重要之一者,正是比例導引律。

一、家世淵源

袁家騮博士(Dr. Luke Chia-Liu Yuan,1912-2003)籍貫河南省項城市,生於同省安陽縣(今安陽市)。其祖父袁世凱、其父袁克文,妻為素稱東方居禮夫人之吳健雄博士。

1928年,袁家騮考入天津英租界內天主教教會學校天津工商大學工科。1930年,轉學入燕京大學(後併入北京大學)學習物理。1932年,畢業於該校物理系,1934年,獲該校碩士學位。1936年,經當時美國駐華大使司徒雷登引薦,先入加州大學柏克萊分校就讀。當時吳健雄於同校攻讀物理,後因獎學金問題,轉學加州理工學院,一年後受聘為該院物理系助教。1940年,獲該校博士學位,留校任物理研究員。

1942年5月30日與吳健雄結為夫婦。二戰期間,各科技機構紛紛參與國防研究,1942年至1946年,進入美國無線電公司(Radio Corporation of America, RCA)實驗室從事雷達原理工作。二戰結束,返回理論物理界,先後在美國國家科學實驗室和普林斯頓大學長期從事基礎物理研究。1959年獲中央研究院第3屆(數理科學組)院士。1982年榮獲頒授「三等景星勳章」,以表彰其對科學發展的特殊貢獻[1,2,3]。

袁家騮是一位名聞遐邇的高能物理學家,曾入普林斯頓大學從事宇宙研究,後又在美國國家實驗室工作,從事核子科學基本理論的研究。他在高能物理、高能加速器、粒子探測系統、宇宙線研究上均有很高的造詣。然而,這些都與飛彈研發無關,所以也很少人知道他在飛彈導引領域之劃時代成就。

人生中很多事,不單靠實力也得仰賴機運,雙雙配合方能成功。雖然有良好的實力,但也必須留一點空問給「機運」去發揮。機運不是人安排的,人只能身受機運的引領。命運的偶然,兩次時代之需,使他接觸飛彈且充滿曲折,而這些都是當年意想不到的。第一次與飛彈結緣,在於進入RCA實驗室工作,背景是美國海軍對日本神風(kamikaze)特攻隊自殺機的攻擊,十分頭疼,為求反制,資助RCA實驗室參與雷達導引飛彈攔截神風機計畫下之招募人員。偶然與巧合,再加上新婚有些經濟上的壓力,申請RCA實驗室工作。第二次與飛彈結緣,1978年雄風計畫獲致初步成功,中山科學研究院的科技觸角變得更廣泛而敏銳。蔣經國總統指示中科院工作人員,盡量向國外尤其是美國的華裔學者專家們請益,並邀請來院指導。袁家騮也加入行列,再度為雷達導引提供意見[4]。

袁家騮在RCA實驗室從事飛彈研究,工作性質屬於導引理論推導,具原理性及原創性。更由於技術與應用雖不斷更新,但其基本原理永遠不變,更值得人們永遠推崇紀念!

二、閉門絕創

1943年7月,研究攔截飛行目標依據之學理,應用於反制神風攻擊問題。計畫為美國海軍船艦局提交科學研究發展室(Office of Scientific Research and Development, OSRD)資助RCA實驗室執行,故須提交工作報告[5],並列為機密。報告內容為飛彈攔截飛機導引問題,提供可行解法,其使用具體算例與簡單圖形,解釋複雜的原理。二戰結束後,解除機密,刪除機敏字眼,發表於1948年12月美國物理學會發行之應用物理期刊上[6]。為求明白報告內容,先用下面二圖說明導引律(Guidance law)為何,而歸向導引(Homing guidance)又為何。

飛彈導引迴路方塊圖

歸向原理示意圖

在未發明比例導引律之前,累積前人經驗與直覺觀察得知歸向導引方法有追逐導引(Pursuit guidance)及平行視向線導引(Constant bearing)二方法,如下二圖。

追逐導引示意圖

平行視向線導引示意圖

這二篇論文,首先對追逐導引終端擊靶實施數學解析。如今觀之,借助計算機發展迅速,各種運算軟體齊備之助,當可輕易求得數值模擬結果。然而就當時條件,計算機與軟體都未問世,故為極度困難之問題。飛彈有速度優勢,對準目標,直覺而言,擊靶並不困難。追逐導引航線軌跡即俗稱狗追兔子(hound-and-hare course)路線,可將問題簡化為平面座標,藉著一簡單例子,假設目標為等速直線運動,得一數學模型,求解其二階非線性常微分方程式之近似極限解。使用此一解法,說明飛彈速度為目標速度二倍狀況,追逐導引航線接近目標時,軌跡曲率半徑趨近零,導致飛彈側向加速度變得非常大,使得飛彈快速轉彎有困難。

接著論文提出比例常數調整作法,使飛彈以平行視向線路徑,進入碰撞航向。下面套用文獻[6]歸向原理原圖,闡述其所提之比例導引法。

袁家騮比例導引法原理圖

為改善追逐導引之缺點,設計新導引法則,視向線和飛彈順時針同時旋轉θθ/α之角度,此處α為小於1之常數,以上圖解釋,θ代表視向線在時間t內,在S2S1之角度變化,即S1T1S2T2之角度差為θ時,飛彈航向角度差為θ/α,正是因為常數α之引入,此新導引方法後來被稱為比例導引律(Proportion navigation guidance law, PNG)。此法修正追逐導引無前置角的缺點,建立一經理論計算之前置角,使其進入平行視向線導引之碰撞路徑航向。已知追逐導引律為θMSL,平行視向線導引律為SL/dt=0,藉一常數使二者調和得導引律        θM=θSL。如α等於1,則θMSL,退化回追逐導引。如α趨近0,θSL=0,升級成平行視向線導引,θM不調整,保持角度航向攔截點。

三、昇華淬鍊

比例導引發明70餘年來,發展出非常多分支學派,各派使用代表符號也不一致,但基本理論依然相同。延續使用文獻[6]原理圖符號,將現今比例導引律在教科書[7,8,9]中寫法改為M/dt=k(dθSL/dt),此處k=1/α,通常為3~6。因  M/dt=aM/VM,如飛彈側向加速度aM垂直飛彈速度軸向VM,得到純比例導引律(Pure Proportion navigation guidance law, PPN),aM=d(θSLkVM)/dt。如飛彈側向加速度aM垂直視向線,得到真比例導引律(True Proportion navigation guidance law, TPN),aM=d(θSLkVC)/dtVC是接近速度。其餘衍生出各式各樣之比例導引律如下圖。

常見比例導航衍生之導引律示意圖

1960年代,另一華人大師何毓琦(Yu-Chi Ho)參與並為重要貢獻者之最佳控制理論(Optimal control theory)盛行,除有依自身發展之線性二次調節器理論 (Linear quadratic regulator, LQR)、線性二次高斯理論(Linear quadratic Gaussian, LQG)、擴增卡爾曼濾波理論(Extend Kalman filter theory, EKF)等形成之最佳導引律(Optimal guidance law, OPG)學派,構成近代導引系統(Modern guidance system, MGS)[10,11],一度後來居上。除分庭抗禮外,亦有融合兩者,將比例常數k改為變數,應最佳化理論求解之最佳比例導引(Optimal Proportion navigation guidance law, OPN)。尚有結合比例導引成擴增比例導引(Augmented Proportion navigation guidance law, APN),aM=k(ZEM)/tgo2=kVC(dθSL/dt)+0.5kaT,在APN之設計中,將零誤失距離(Zero error miss, ZEM)、擊靶時間(time to go, tgo)、目標側向運動aT以估測器實施狀態估測,已使飛彈更準確。

近年尚出現預測導引律(Prediction guidance law, PRG)及所衍生之瞄準點導引律(Aiming point guidance law, APG)、瞄準線導引律(Aiming line guidance law, ALG)。雖不含比例導引字眼,並以預測命中目標點等為概念,容易誤以為與最佳導引律有關。但其仍運用比例導引律所量測(sense)之資訊,而非最佳導引律之估測(Estimate)資訊,故屬純比例導引PPN之再分支學派,未免混淆,特別說明[12]。

此外,模糊理論、類神經理論、田口式實驗設計、非線性H2/H理論等等加入,更使比例導引多樣化。

四、重新發現

孟德爾被尊稱為「遺傳學之父」,這很容易讓人以為:「原來孟德爾的遺傳定律這麼厲害!當時一推出,一定驚動四方、一舉成為遺傳學之父的吧?」其實,不少出色的科學家直到去世多年後,提出的理論才受到肯定,活著時根本沒有機會享受榮光,孟德爾就是如此。孟德爾的遺傳法則公開後,被世人忽視35年,直到他過世十幾年後,才被「重新發現」(rediscovery)。

為什麼呢?原因就是孟德爾籠罩於同時代名氣響亮的達爾文陰影之下。

而比例導引的第一道陰影──德國人發明飛彈。

提起飛彈,讓人不自覺想起二戰時期,德國科學家發明V-1、V-2飛彈,這是人類首次將之投入戰場,而其成就非凡,吸引無數目光與榮耀。德國戰敗後,美國俘獲大批納粹科學家及珍貴飛彈技術資料,繼承飛彈研發工作,充為冷戰、人造衛星、登月等計畫運用。美國夢不斷被實現之功勞,似乎該歸於向德國科學家。美國科學界不願被譏掠人之美,近年強調「美國夢」、「美國再次偉大」,發掘其文化優異與科技傲人之紀錄。中短程戰術防空飛彈就為其中一個例證,其與V-1、V-2等長程戰略彈道飛彈之研發概念完全不同,兩者導引律完全不同。短程戰術飛彈導引技術完全無德國人參與,純為美國設計之本土貨,成果豐碩傲人,足以向世人宣傳。這歷史第一,中短程戰術防空飛彈成功攔截靶機是美國秘密研發的百靈鳥(或譯雲雀,Lark)飛彈。

百靈鳥(或譯雲雀,Lark)原型彈機身現存加州太平洋飛彈測試中心(Pacific Missile Center)側邊Point Mugu飛彈公園展示(Photo by wikipedia)

百靈鳥計畫初為海軍航空局(Bureau of Aeronautics, BuAer)於1944年肇始,未能於二戰結束前完成。1946年至1950年被兵工局(Bureau of Ordnance, BuOrd)繼續試驗。其原設計使用固體加力器及液體火箭推進,彈體由Consolidated-Vultee飛機公司製造,攜帶重45.4公斤(100磅)的彈頭,射程約為61公里(38英里)。費查航空器公司(Fairchild Aircraft)於1945年3月獲得加裝導引裝置之合約,使用指令及半主動雷達導引。1945年6月,Convair公司又獲另一合約,使用乘波及主動雷達導引,兩者皆告失敗。計畫轉至雷神公司(Raytheon Company)執行,改採連續波都普勒雷達導引,獨排眾議研發搜索兼追蹤用之「速度閘」,而非其餘一般研究者所採之「距離閘」。1950年1月首次成功地在海軍航空兵器站(Naval Air Weapons Station, NAWS)中國湖(China Lake)試射場攔截無人靶機。於重現百靈鳥榮光,肯定科學成就地位時,其歸向原理及比例導引律等原創紀錄被放大檢視,連帶發掘袁家騮首先發明比例導引律之事實。

比例導引的第二道陰影──古典控制理論跟不上時代。

接踵而來,尚有後來居上、風行一時之新導引律,即最佳控制理論所構建之近代導引系統理論[10,11]。近代導引系統理論確實為偉大科學成就,其促成20世紀科技之進步,有目共睹,不容否認。但並非所有問題皆能迎刃而解,其理論新穎豐富,吸引較多學者貢獻研究,一度成為顯學。其優點為能指定設計目標(如最小誤失距離、最短飛行時間、最少飛行能量等),並且可以加入某些限制因素(如飛彈G值限定),然後以性能指標及限制條件方程組求解。然其優點即是缺點,因飛彈與目標相對運動並非線性,須線性化後求解,常無法得出合理解。縱能得解,也常有須對擊靶時間積分之算式。擊靶時間無法正確估計,復加線上積分耗時過長,彈載計算機無法完成,更由於需大量感測元件支援,工程實踐委實困難。反觀比例導引律,對目標資訊需求簡單,強健性高,工程實踐容易。Pastrick與Garnel將兩導引律比較,皆認戰術飛彈採用比例導引為佳[13,14]!Garnel書內於1980年後,更決定將近代導引律相關章節刪除,特別於序文中說明,戰術導引武器使用近代導引律,太過繁雜,限制因素甚多,不能解決實際問題。導引界已普遍體認,在長程戰略彈道飛彈、高層防禦飛彈等所需之中途導引(Midcourse guidance)法則,有龐大導控站計算支援時,最佳導引律確實較佳。在中短程防空飛彈,射後不理,彈內結構緊緻,計算單元及尋標器提供之參數有限時,其終端導引(Terminal guidance)依然倚重比例導引律。理論經比較驗證、時間沉澱,比例導引仍屹立不搖,且學術重要性益顯重要。科技史對之重視,探討原創,再度發現袁家騮發明比例導引律。

百靈鳥原型彈在中國湖試射場發射(photo by wikipedia)

五、武林公認

最早引用文獻[5]者,為知名之導引研究先驅Spitz在美國海軍實驗室完成之內部機密工作報告[15],證明文獻[5]確實存在,實用具重要性且完成時間最早,成為最有力證據,但隨後無人再理會及引用。文章沉睡多年後,導引理論權威專家、雷神公司(Raytheon company)代表人物Zarchan在其論文[16]與美國航空太空學會請其執筆撰寫之專書[17]中,推崇文獻[5,6]最先研究比例導引,由於其在導引界之地位及美國航太學會之學術巨塔象徵,公信力堅強。導引權威Shneydor在英國出版的導引專書[18],回顧導引理論發展,總結評價,認定RCA實驗室及袁家騮發明了比例導引,美國本土外之導引學界也開始承認。著名科普作家、新罕布什爾大學榮譽教授Nahin在其論文中婉轉推斷文獻[6]內容為飛彈攔截問題 [19],為美國科技史主流意見領袖之認定,普獲共鳴,溢出導引圈外。瑞典控制理論家Åström在其論文[20]中,記載文獻[6]為已知之第一篇比例導引論文,為歐洲科技界認同之象徵,意義重大。

六、雷神發威

喜愛觀賞美國職棒大聯盟(Major League Baseball, MLB)比賽者,一定十分懷念洋基隊(Yankee)投手-李維拉(Mariano Rivera)。李維拉創下多項救援成功紀錄,被封為王牌終結者、大聯盟救援王。其最拿手絕技就是卡特球(Cutter)。卡特球是一種傳統球路,慣用常見的曲球,但其練得爐火純青,精準到位,球球化解危機,屢屢為洋基隊勝出。比例導引律恰如卡特球般,每每為雷神公司建功。

從F-15C戰機上發射的AIM-7麻雀(Sparrow)空對空飛彈。(photo by USAF)

AIM-7麻雀(Sparrow)空對空飛彈之研發概念,係美國海軍構想以百靈鳥飛彈為原型,精進改良而成。Sperry公司設計 麻雀一型 (Sparrow I)飛彈設計使用雷達乘波導引,道格拉斯(Douglas)公司設計麻雀二型(Sparrow II)飛彈使用主動脈波雷達尋標,皆告失敗。雷神公司接手麻雀三型(Sparrow III)時,改採主動連續波雷達尋標,終告成功。關鍵為對比例導引律動態性能之瞭解與分析,認知對感測元件要求簡單,誤差耐受程度高。權衡選擇,採用尖形鼻錐罩及開發速率陀螺儀。氣動力設計上為降低風阻,中短程戰術飛彈傾向使用尖錐形鼻錐罩,而非半圓形者,產生雷達反射波角度誤差,如使用最佳導引律,誤失距離極大,難以克服;若使用比例導引律,則能以補償迴路增益方式使誤差維持一定範圍內且不發散,拍板決定採用比例導引律。再發展速率陀螺儀用於尋標器穩定環架,直接獲得角速率,滿足比例導引律之需,雖是Sparrow III之成功,亦顯比例導引律過人之處[21,22]。

鼻錐罩誤差示意

鼻錐罩斜率對比例與近代導引律之影響比較

雷神公司對比例導引律情有獨鍾,有賴於休斯飛機(Hughes aircraft)公司慧眼獨具且出力不小。RCA實驗室將比例導引報告交送海軍後,幾經轉手由空軍委休斯公司發展AIM-4/47獵鷹(Falcon)空對空飛彈,幾經努力,未盡理想拖延甚久,但已完成比例導引之解析計算。獵鷹飛彈戰績雖不十分出色,但其下一代末AIM-54鳳凰(Phoenix)飛彈卻赫赫有名。當Lark與Sparrow計畫先後遭遇技術瓶頸時,雷神公司係在休斯公司既成理論分析基礎上,向前邁進,終將比例導引律應用於實體。雷神公司並不以此滿足,繼續將比例導引律精進,並推向擴展主動雷達導引以外領域之應用。

速率陀螺儀配置示意

速率陀螺儀控制迴路

MIM-23鷹式(HAWK)飛彈雖為半主動全程歸向導引,但利用接收都普勒訊號,計算成接近速度,配合比例導引律攔截,屬TPN之應用。

AIM-9響尾蛇(sidewinder)飛彈為海軍武器中心(Naval weapon center)完成原型研發,採用被動紅外線尋標器,使用前置角追逐導引律,轉移與福特航太公司(Ford Aerospace and Communication Corp.)生產並進行熱追蹤歸向裝置不斷提昇,更加入雷神公司強化導引律,使比例導引成功運用被動紅外線導引飛彈及地對空全方位攔截能力,即MIM-72叢樹(Chaparral)飛彈[23]。

SM-2(RIM-66/67)標準飛彈(STANDARD)為精密多段複合導引,包含使用慣性與指令之中途導引與使用主動雷達之終端導引。中途導引調整攔截軌跡、終端導引航向攔截點與兩者之銜接重疊,均有比例導引之運算與應用,使比例導引律實用範圍更擴大[24]。

國造天弓飛彈構型類似愛國者飛彈,但深入其導引機制,類似標準飛彈,比例導引律應為核心部分,PRG導引律做為PPN導引律的一種進化分支,成為天弓箭法之必殺絕技[25]。

天弓INERTIAL(UPDATE)+E-GUIDANCE+C-GUIDANCE+PRG(PPN)

英雄俠士們,您可能知道台海守護神手中所持之響尾蛇、麻雀、鷹式(HAWK)、天弓等神刀寶劍。但未必清楚刀法、劍法由何而來。

沒有理論,不會有實際!

沒有比例導引,不會有戰術飛彈!

請記住比例導引律祖師爺 ── 袁家騮

七、參考文獻

1. 中央研究院網站,院士會議,數理科學組。

2. 陳富香,高能物理實驗大師袁家騮,科學發展,368期,2003年8月。

3. 江才健,吳健雄博士小傳 Part 2,吳健雄學術基金會。

4. 王丰,兩岸史話-國府核武暨飛彈計畫推手 唐君鉑神祕的一生 兼談:兩蔣時代不為人知的國防科技研發內幕(之五),旺報,中華民國99年5月31日(2010)。

5. Luke Chia-Liu Yuan, “Homing and navigational courses of automatic target seeking devices,” Technical Report PTR-12C, RCA Laboratories, Princeton, N.J., December 1943.

6. Luke Chia-Liu Yuan, “Homing and navigational courses of automatic target-seeking devices,” Journal of Applied Physics, Vol. 19:1, p122-128, 1948.

7. 陶長興,導引控制講義,中正理工學院兵器工程研究所飛彈組,中華民國85年(1996)。

8. 曹魯屏,導引與控制講義,國防大學理工學院國防科學研究所兵器組,中華民國90年(2001)。

9. 郭智賢,導航理論講義,國防大學理工學院國防科學研究所兵器組,中華民國90年(2001)。

10. Ho, Y.-C., Bryson Jr., A. E. and Baron, S., “Differential games and optimal pursuit-evasion strategies,” IEEE Transactions on Automatic Control, 10(4): 585-589, 1965.

11. Bryson Jr., A. E. and Ho, Y.-C., Applied Optimal Control, Taylor & Francis, 1975.

12. 趙嘉琦,預測導引律之性質,空軍軍官學校航空機械系專題報告,高雄市岡山區,中華民國103年4月18日(2014)。

13. Pastrick, H. L., Soltzer, S. M. and Warren, M. E., “Guidance Laws for Short-Range Tactical Missile,” J. Guidance and Control, Vol. 4 No. 2, 1981.

14. Garnell, P. and East, D. J., Guided Weapon Control Systems, Pergamon Press, first edition, 1977.

15. Spitz, H., “Partial navigation courses for a guided missile attacking a constant velocity target,” Rept. R-2790, Naval Research Laboratory, Washington, D.C., March 1946.

16. Nesline, F. W. and  Zarchan, P., “A new look at classical versus modern homing missile guidance. Journal of Guidance,” Control, and Dynamics, 4(1):78-85, 1981.

17. Zarchan, P., Tactical and Strategic Missile Guidance, volume 239 of Progress in Astronautics and Aeronautics. AIAA, Inc., Reston, VA, 2nd edition, 1994.

18. Shneydor, N A., Missile Guidance and Pursuit--Kinematics, Dynamics and Control. Series in Engineering Science, Horwood Publishing Limited, Chichester, U.K., 1998.

19. Nahin, P. J., Chases and escapes: the mathematics of pursuit and evasion, Princeton University Press, 2007.

20. Åström K J. Early control development in Sweden, European Journal of Control, 13:7-19, 2007.

21. Nesline, F.W., Missile guidance for low-altitude air defense, AIAA paper 78-1317, 1979.

22. Fosser, M. W., “Tactical Missile Guidance at Raytheon,” Electronic Progress, Raytheon Co., 1980.

23. Waite, W. F.,”Simulation for System Design Modification,”Proc. Summer Computer Simulation Conference, 1983.

24. Witte, R. W. and McDonald, R. L.,”STANDARD Missile: Guidance System Development,” John Hopkins APL Technical Digest, Vol. 2 No. 4,1981.

25. Lin, C. F., Modern Navigation, Guidance and Control Processing, Prentice-hall, Eagle-wood Cliffs, Section 6.4, 1991.